Question

已知函数h（x）=x²，φ（x）=2elnx（其中e为自然对数）
（1）求F（x）=h （x）-φ（x） 的极值．
（2）设G（x）=h（x）-φ′（x）•（常数a＞0），当x＞1时，求函数G（x）的单调区间，并在极值存在处求极值．

Answer 1

解：（1）∵F（x）=x²-2elnx（x＞0）
∴F′（x）=2x-2e=
当0＜x＜时，F′（x）＜0，此时F（x）递减，
当x＞时，F′（x）＞0，此时F（x）递增
当x=时，F（x）取极小值为0 …（6分）
（2）可得G（x）=x²+=x²+，
G′（x）=2x-=，…（9分）
当0＜x＜时，G（x）递减，当x＞时，G（x）递增．
由于x＞1，
若≤1时，即0＜a≤2，G（x）在（1，+∞）递增，无极值．
若＞1时，即a＞2，G（x）在（1，）递减，在（，+∞）递增．
所以x=处有极小值，极小值为…（12分）．
分析：（1）先确定函数的定义域然后求出函数的导涵数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，然后根据极值的定义进行判定极值即可．
（2）由题设条件知G（x）=x²+=x²+，故G′（x）=．令G′（x）=0，得x=，由此能求出F（x）的单调区间与极值．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数单调区间等有关基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．