Question

若抛物线y²=2px上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则p的取值范围是（ ）
A．（-，0）
B．（0，）
C．（0，）
D．（-∞，0）∪（，+∞）

Answer 1

【答案】分析：设出A，B两点的坐标，因为A，B在抛物线上，把两点的坐标代入抛物线方程，作差后求出AB中点的纵坐标，又AB的中点在直线x+y-1=0上，代入后求其横坐标，然后由AB中点在抛物线内部列不等式求得实数p的取值范围．
解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为点A和B在抛物线上，所以有①
②
①-②得，．
整理得，
因为A，B关于直线x+y-1=0对称，所以k_AB=1，即．
所以y₁+y₂=2p．
设AB的中点为M（x，y），则．
又M在直线x+y-1=0上，所以x=1-y=1-p．
则M（1-p，p）．
因为M在抛物线内部，所以．
即p²-2p（1-p）＜0，解得0＜p＜．
所以p的取值范围是（）．
故选C．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了点差法，是解决与弦中点有关问题的常用方法，解答的关键是由AB中点在抛物线内部得到关于p的不等式，是中档题．