Question

【题目】如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC中点，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 ．
（1）当EH与平面PAD所成角的正切值为 时，求证：EH∥平面PAB；
（2）在（1）的条件下，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC，由题设知△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，

又BC∥AD，因此AE⊥AD；

∵PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，

∴PA⊥AE

而PA平面PAD，AD平面PAD，且PA∩AD=A，

所以AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．

在Rt△EAH中，AE=

所以当AH最短时，∠EHA最大；

即当AH⊥PD时，∠EHA最大；

此时tan∠EHA= = = ，

因此AH= ，

又AD=2，∴∠ADH={45°}∴PA=2

∴H为PD的中点，

取PA的中点M，连接HM，MB，则HM= 且HM∥AD，DB= AD且DB∥AD，

∴HM∥DB且HM=DB

∴四边形DHMB为平行四边形

∴EH∥BM，

又BM平面PAB

∴EH∥平面PAB

（2）解：∵PA⊥面ABCD，PA平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABCD，

∵PB面PAB∴CM⊥PB，

∴PB⊥面CQM，∴ ，

∴△ABC为正三角形，∴点M为AB的中点，

∴ ，∴ ，

∴

【解析】（1）首先要证明AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角；所以当AH最短时，∠EHA最大；即当AH⊥PD时，∠EHA最大；接着利用构造平行四边形法判定线面平行即可；（2）利用已知条件证明平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥面CQM，所求二面角转化到Rt△CQM中即可；
【考点精析】利用直线与平面平行的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．