Question

如图，四棱锥中，底面为正方形，，
平面，为棱的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
（3）求点到平面的距离．

Answer 1

（1）要证明面面垂直，根据平面，所以以及得到平面．从而得到证明。
（2）  （3）

试题分析：（1）证明：因为平面，所以． 2分
因为四边形为正方形，所以，
所以平面．
所以平面平面．  4分 
（2）解：在平面内过作直线．
因为平面平面，所以平面．
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则．
所以 ，．
设平面的法向量为，则有
所以   取，得．
易知平面的法向量为．
所以 ．
由图可知二面角的平面角是钝角，      
所以二面角的余弦值为．   8分
（3）根据等体积法可知到平面的距离,则可以利用
 ,那么结合底面积和高可知          12分
点评：主要是考查了空间中的面面垂直的判定定理和二面角以及点到面的距离的求解，属于中档题。