Question

如图,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，
PA=BC=1，PD=AB=,E、F分别为线段PD和BC的中点．

（Ⅰ） 求证：CE∥平面PAF；
（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）先证明EC∥HF即可              （Ⅱ）存在

试题分析：（1）取PA中点为H，连结CE、HE、FH，
因为H、E分别为PA、PD的中点，所以HE∥AD,,
因为ABCD是平行四边形，且F为线段BC的中点 , 所以FC∥AD,
所以HE∥FC, 四边形FCEH是平行四边形 ,所以EC∥HF
又因为   
所以CE∥平面PAF.        
（2）因为四边形ABCD为平行四边形且∠ACB＝90°，

所以CA⊥AD ,又由平面PAD⊥平面ABCD可得 CA⊥平面PAD , 
所以CA⊥PA , 由PA=AD=1，PD=可知，PA⊥AD,                   
所以可建立如图所示的平面直角坐标系A-xyz, 因为PA=BC=1，AB=所以AC="1" .     
所以.
假设BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，
设点G的坐标为（1，a，0），    所以
设平面PAG的法向量为，
则令 所以，
又设平面PCG的法向量为，
则令所以 ，       
因为平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，所以
  所以又所以, 
所以线段BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°.
点G即为B点.
点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查学生的计算能力，正确作出面面角是关键．