Question

在长方体中，，，为中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）先证平面（Ⅱ）（Ⅲ）的长.

试题分析：（Ⅰ）证明：连接∵是长方体，∴平面，又平面 ∴    
在长方形中， ∴     
又∴平面，    
而平面∴      
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则

,  
设平面的法向量为，则    令，则  ,
       
所以 与平面所成角的正弦值为                
（Ⅲ）假设在棱上存在一点，使得∥平面.
设的坐标为，则 因为 ∥平面
所以 ，即， ，解得，        
所以 在棱上存在一点，使得∥平面,此时的长. 
点评：本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.