Question

7．已知函数f（x）=x²+1，1≤λ≤$\frac{3}{2}$，试求g（x）=f[f（x）]-2λf（x）在[-1，1]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 求出g（x）的解析式，令t=x²（0≤t≤1），则y=（t+1-λ）²+1-λ²，求得对称轴方程及范围，考虑两端点的函数值的大小，即可得到最值．

解答 解：函数f（x）=x²+1，1≤λ≤$\frac{3}{2}$，
g（x）=f[f（x）]-2λf（x）=x⁴+2（1-λ）x²+2-2λ
=（x²+1-λ）²+1-λ²，
令t=x²（0≤t≤1），则y=（t+1-λ）²+1-λ²，
对称轴t=λ-1∈[0，$\frac{1}{2}$]，
当t=λ-1时，取得最小值，且为1-λ²；
t=0时，y=2-2λ；t=1时，y=4-4λ．
由2-2λ-（4-4λ）=2λ-2∈[0，1]，
则t=0时，取得最大值，且为2-2λ．
综上可得x=0时，取得最大值2-2λ，
当x=±$\sqrt{λ-1}$时，取得最小值1-λ²．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查换元法和二次函数在闭区间上的最值的求法，注意对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．