Question

17．已知点P（2，2），圆C：x²+y²-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中垂线与⊙C交于点M，N．
（1）若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），求直线l的方程；
（2）求四边形AMBN面积的范围．

Answer 1

分析 （1）圆的方程化为标准方程，$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），可得P是AB的中点，即可求直线l的方程；
（2）四边形AMBN面积=$\frac{1}{2}•8•|AB|$=4|AB|，求出|AB|的范围，即可求四边形AMBN面积的范围．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-8y=0，可化为x²+（y-4）²=16，圆心为（0，4），半径为4，
∵$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），∴P是AB的中点，
∵k_CP=$\frac{4-2}{0-2}$=-1，
∴k_AB=1，
∴直线l的方程为y-2=x-2，即x-y=0；
（2）四边形AMBN面积=$\frac{1}{2}•8•|AB|$=4|AB|．
P是AB的中点时，|CP|=$\sqrt{（2-0）^{2}+（2-4）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，|AB|_min=$\sqrt{16-8}$=2$\sqrt{2}$，
AB是直径时，|AB|_max=8，
∴四边形AMBN面积的范围是[8$\sqrt{2}$，32]．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查面积的计算，正确运用圆的性质是关键．