Question

已知函数f（x）=2x-

1

2|x|

（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若对于t∈[1，2]时，不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据解析式分类：x≥0时和x＜0时，分别代入解析式求出2^x，再由指对互化求出x的值；
（2）根据t的范围将转化为：2t(2t-

1

2t

)+m≥0，再分离出m，设y=-2t(2t-

1

2t

)化简后，把2^t作为一个整体求出范围，再利用二次函数的性质求出函数的最大值．

解答：解：（1）当x≥0时，f(x)=2x-

1

2x

=2，
即（2^x）²-2×2^x-1=0，解得2x=1±

2

，
∵2^x＞0，∴2x=1+

2

，则x=log2(1+

2

)；
当x＜0时，f(x)=2x-

1

2-x

=0≠2不成立，
∴x=log2(1+

2

)，
（2）∵不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，
∴2t(22t-

1

22t

)+m(2t-

1

2t

)≥0恒成立，
∵t∈[1，2]，∴2t＞

1

2t

，
即2t(2t-

1

2t

)+m≥0恒成立，即m≥-2t(2t-

1

2t

)max，
设y=-2t(2t-

1

2t

)=-22t-1，
∵t∈[1，2]，∴2^t∈[2，4]，
∴当2^t=2时，y取到最大值是-5，
∴m≥-5．

点评：本题考查了指数型复合函数的性质，主要利用整体思想和指数函数性质，以及二次函数的性质进行求解，属于中档题．