Question

13．如图，AF是圆E切线，F是切点，割线ABC，BM是圆E的直径，EF交AC于D，$AB=\frac{1}{3}AC$，∠EBC=30°，MC=2．
（Ⅰ）求线段AF的长；
（Ⅱ）求证：AD=3ED．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出∠BCM=90°，BC=2$\sqrt{3}$，AC=3$\sqrt{3}$，由切割线定理能求出AF．
（Ⅱ）过E作EH⊥BC于H，则△EDH∽△ADF，由此能证明AD=3ED．

解答 （本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：（Ⅰ）∵BM是圆E直径，∴∠BCM=90°，…（1分）
又MC=2，∠EBC=30°，∴BC=2$\sqrt{3}$，…（2分）
又AB=$\frac{1}{3}$AC，∴AB=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，∴AC=3$\sqrt{3}$，…（3分）
根据切割线定理得：$A{F}^{2}=AB•AC=\sqrt{3}×3\sqrt{3}$=9，…（4分）
解得AF=3．…（5分）
证明：（Ⅱ）过E作EH⊥BC于H，…（6分）
则△EDH∽△ADF，…（7分）
从而有$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}$，…（8分）
又由题意知CH=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，EB=2，
∴EH=1，…（9分）
∴$\frac{ED}{AD}=\frac{1}{3}$，即AD=3ED．…（10分）

点评 本题考查线段长的求法，考查两线段等量关系的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．