Question

（2009•南通二模）如图，在四棱椎P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，
（1）若点E是CD上的动点，求三棱椎E-PAB体积；
（2）若E是CD的中点，F是PD上一点，PE与AF成60°角，求

FD

PD

的值．

Answer 1

分析：（1）利用转化思想把三棱椎E-PAB体积转化为三棱锥P-ABE的体积，然后直接代入体积公式求解；
（2）分别以AB、AD、AP为x、y、z轴建立坐标系，设

FD

PD

=m，把F点的坐标用含有m的代数式表示，利用空间向量所成的角求解运算．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，△ABE是定值，
∴VE-PAB=VP-ABE=

1

3

S△ABE•PA=

1

3

×

1

2

×1×2×1=

1

3

；
（2）分别以AB、AD、AP为x、y、z轴建立坐标系（如图），
则由题知：A（0，0，0），P（0，0，1），E为CD中点，CD=2，E（1，1，0），

PE

=（1，1，-1）
设

FD

PD

=m，F（0，1-m，m）（0≤m≤1），

AF

=（0，1-m，m）
PE与AF成60°角，则|

PE • AF

| PE |•| AF |

|=

1

2

即|

1-2m

3 (1-m)2+m2

|=

1

2

化简得10m²-10m+1=0，m=

1

2

±

15

10

经检验，均满足0≤m≤1，故

FD

PD

=

1

2

±

15

10

点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了数学转化思想方法，训练了等积法，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，是中档题．