Question

（本小题满分14分）已知函数，.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若函数有两个零点，且，求实数的取值范围并证明随的增大而减小.

 

Answer 1

（1）的单调递增区间为，；（2）的取值范围是.证明详见解析.

【解析】

试题分析：（1）导数大于0，则为增函数，导数小于0则为减函数.将求导得，当时，对恒成立，的单调递增区间为；当时，由得：，或， 所以的单调递增区间为，；（2），得.显然是的极大值点，要使得有两个零点，必须>0, 即，从而得的取值范围是.是函数的两个零点，所以，，相减消去得：.设，则，且解得，.所以. 令，，再利用导数可知在上单调递增，由此可得随着的增大而增大.下面再来研究与的关系.因为是函数的两个零点，即，，则，，，.设，则，所以在上单调递增，在上单调递减. 对于任意的，方程都有两个解，这两个解就是.如下图：

设，设，则必有，其中；，其中.因为在上单调递增，故由，即，可得；

类似可得，由，则，所以.这说明随着的增大而减小.根据复合函数的单调性知随a增大而减小.

试题解析：（1） ∵，所以定义域为且， 1分

因为,

（1）当，又，即时，对恒成立，

∴的单调递增区间为； 2分

（2）当，又，即时，

由得：，或， 3分

所以的单调递增区间为，； 4分

（2）当时，由，得.

当变化时，，的变化情况如下表：

		1
	＋	0	－
	↗		↘

 

这时，的单调递增区间是，单调递减区间是. 5分

当x大于0且无限趋近于0时，的值无限趋近于；

当x无限趋近于0时，的值无限趋近于， 6分

所以有两个零点，须满足>0，即，

所以的取值范围是. 7分

因为是函数的两个零点，即，.

故. 8分

设，则，且解得，.

所以. 9分

令，，则.

令，得.

当时，.因此，在上单调递增，

故对于任意的，，由此可得，

故在上单调递增.

因此，由①可得随着的增大而增大. 10分

因为是函数的两个零点，即，，

则，，

因为且，则，. 11分

设，则，

所以在上单调递增，在上单调递减. 12分

对于任意的，设，

必有，其中；，其中.

因为在上单调递增，故由，即，可得；

类似可得， 13分

由，则，所以.

所以，随着的增大而减小.

即随a增大而减小. 14分

考点：导数与不等式.