Question

某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件），可近似看做一次函数y=kx+b的关系（如图所示）．
（Ⅰ）根据图象，求一次函数y=kx+b的表达式；
（Ⅱ）设公司获得的利润（利润=销售总价-成本总价）为S元，写出S关于x的函数表达式，并求该公司可获得的最大利润．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由图象知，当x=600时，y=400； 当x=700时，y=300，代入y=kx+b中，求得k和b的值，可得一次函数的解析式．
（Ⅱ）依题意得，S=xy-500y=-（x-750）²+62500（500≤x≤800），再利用二次函数的性质求得它的最大值

解答：解：（Ⅰ）由图象知，当x=600时，y=400； 当x=700时，y=300，
代入y=kx+b中，可得

400=600k+b 300=700k+b

，
解得

k=-1 b=1000

，
∴一次函数y=kx+b的表达式为 y=-x+1000（500≤x≤800）．
（Ⅱ）依题意得，S=xy-500y=x（-x+1000）-500（-x+1000）=-x²+1500x-500000
=-（x-750）²+62500（500≤x≤800）．
∴当x=750时，y_max=62500，即该公司可获得的最大利润是62500元．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．