Question

2．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=2，S₉=45．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=l，$\frac{{{3^{{b_{n+1}}}}}}{{{3^{b_n}}}}$=${3^{a_n}}$（n∈N⁺），求数列{$\frac{1}{{{b_n}+n-1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列前n项和公式、通项公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出a_n．
（2）推导出b_n+1-b_n=n，利用累加法求出b_n=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n+1，从而$\frac{1}{{b}_{n}+n-1}$=$\frac{2}{{n}^{2}+n}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），由此能求出数列{$\frac{1}{{{b_n}+n-1}}$}的前n项和T_n．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=2，S₉=45，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{9{a}_{1}+\frac{9×8}{2}d=45}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=1，
a_n=1+（n-1）×1=n．…（4分）
（2）∵数列{b_n}满足b₁=l，$\frac{{{3^{{b_{n+1}}}}}}{{{3^{b_n}}}}$=${3^{a_n}}$（n∈N⁺），
∴b_n+1-b_n=n，
∴b_n=b₁+b₂-b₁+b₃-b₂+…+b_n-b_n-1
=1+1+2+3+…+（n-1）
=1+$\frac{n-1}{2}$（1+n-1）
=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n+1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}+n-1}$=$\frac{2}{{n}^{2}+n}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．