Question

11．设函数f（x）=|x-1|-|x-m|．
（Ⅰ）若m=2，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）如果?x∈R，f（x）≤5，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将m=2代入f（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质求出|m-1|≤5，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=|x-1|-|x-2|，
所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x＞2\\ 2x-3，1＜x≤2\\-1，x≤1\end{array}\right.$，
所以当x＞2时，f（x）=1；当$\left\{\begin{array}{l}1＜x≤2\\ 2x-3≥1\end{array}\right.$，解得x=2．
所以不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥2}．（5分）
（Ⅱ）因为f（x）=|x-1|-|x-m|≤|x-1+m-x|=|m-1|，
因为?x∈R，f（x）≤5，
所以|m-1|≤5，
解得-4≤m≤6，
故实数m的取值范围是[-4，6]．（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．