Question

已知点O（0，0）、A（1，2）、B（4，5），向量

OP

=

OA

+t

AB

．
（Ⅰ）t为何值时，点P在x轴上？
（Ⅱ）t为何值时，点P在第二象限？
（Ⅲ）四边形ABPO能否为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：利用向量

OP

=

OA

+t

AB

，求出点P的坐标，利用点的位置求出t；如果四边形ABPO能否为平行四边形，那么

AB

=

OP

．

解答： 解：∵向量

OP

=

OA

+t

AB

=（1，2）+t（3，3）=（1+3t，2+3t），
∴P（1+3t，2+3t）．-------------------（2分）
（Ⅰ）∵P在x轴上，∴2+3t=0即t=-

2

3

．-----------------（4分）
∴t=-

2

3

时点P在x轴上；
（Ⅱ）由题意得

1+3t＜0 2+3t＞0

，
∴-

2

3

＜t＜-

1

3

．-------------------（7分）
∴-

2

3

＜t＜-

1

3

时点P在第二象限；
（Ⅲ）∵

AB

=（3，3），

OP

=（1+3t，2+3t）．
若四边形ABPO为平行四边形，则

AB

=

OP

，
∴

1+3t=3 2+3t=3

，上述方程组无解，
∴四边形ABPO不可能为平行四边形．----------------------（10分）

点评：本题考查了向量的运算以及点的位置与坐标的关系以及向量相等的性质．