Question

已知定直线l：x=-1，定点F（1，0），⊙P经过F且与l相切．
（1）求P点的轨迹C的方程．
（2）是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：直线与圆

分析：（1）由已知得点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，由此能求出点P的轨迹C的方程．
（2）设AB的方程为x=my+n，代入抛物线方程整理，得：y²-4my-4n=0，由此利用韦达定理、直径性质能求出直线AB：x=my+4恒过M（4，0）点．

解答： 解：（1）由题设知点P到点F的距离与点P到直线l的距离相等，
∴点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，
∴点P的轨迹C的方程为y²=4x．
（2）设AB的方程为x=my+n，
代入抛物线方程整理，得：
y²-4my-4n=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y1+y2=4m y1y2=-4n

，
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，
∴y₁y₂+x₁x₂=0，∴y1y2+

y12

4

y22

4

=0，
∴y₁y₂=-16，
∴-4n=-16，解得n=4，
∴直线AB：x=my+4恒过M（4，0）点．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．