Question

若A+B=

2π

3

，则cos2A+cos2B的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：通过二倍角公式化简cos²A+cos²B，通过A+B=

2π

3

，进而求出cos²A+cos²B=

1

2

cos（2A+

π

3

）+1，根据余弦函数的性质得出答案．

解答：解：cos²A+cos²B
=

1

2

（2cos²A-1）+

1

2

+

1

2

（2cos²B-1）+

1

2

=

1

2

cos2A+

1

2

cos2B+1
∵A+B=

2π

3

∴B=

2π

3

-A
∴

1

2

cos2A+

1

2

cos2B+1
=

1

2

cos2A+

1

2

cos（

4π

3

-2A）+1
=

1

2

cos2A+

1

2

[（-

1

2

cos2A）-

3

2

sin2A]+1
=

1

2

（

1

2

cos2A-

3

2

sin2A）+1
=

1

2

cos（2A+

π

3

）+1
即cos²A+cos²B=

1

2

cos（2A+

π

3

）+1
∵-1≤cos（2A+

π

3

）≤1
∴

1

2

≤

1

2

cos（2A+

π

3

）+1≤

3

2

即cos²A+cos²B的取值范围为[

1

2

，

3

2

]
故答案为：[

1

2

，

3

2

]

点评：本题主要考查了三角函数中的二倍角和两角和公式的应用．要求应熟练掌握并灵活运用这些公式．