Question

若A+B=

2π

3

，则cos2A+cos2B的值的范围是（　　）

• A．[0，

  1

  2

  ]
• B．[

  1

  2

  ，

  3

  2

  ]
• C．[

  1

  2

  ，1]
• D．[0，1]

Answer 1

分析：利用二倍角公式化简y=cos²A+cos²B，然后利用和差化积公式，化为

1

2

+cos（A-B），求出函数的值域即可．

解答：解：∵y=cos²A+cos²B=

1

2

（1+cos2A）+

1

2

（1+cos2B）=1+

1

2

（cos2A+cos2B）
=1+cos（A+B）•cos（A-B）=1+cos

2π

3

•cos（A-B）=1-

1

2

cos（A-B）．
∵A+B=

2π

3

，所以A-B∈R，∴-1≤cos（A-B）≤1，∴-

1

2

≤

1

2

cos（A-B）≤

1

2

，∴

1

2

≤1-

1

2

cos（A-B）≤

3

2

．
y=cos²A+cos²B的值域为 [

1

2

，

3

2

]，
故选B．

点评：本题主要考查三角函数的化简求值，二倍角公式、和差化积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．