Question

已知函数f（x）=2x²-（k²+k+1）x+15，g（x）=k²x-k，其中k∈R．
（1）设p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；
（2）设函数是否存在实数k，对任意给定的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意可得 p（x）=f（x）+g（x）=2x²-（k+1）x+15-k 在（1，4）上有零点．
∴△=（k²+2k+1）-8（15-k）≥0，解得 k≤-17，或 k≥7．
若p（x）在（1，4）上有唯一零点，则 p（1）p（4）=（16-2k）（43-5k）＜0 ①，
或 ②，或 ③，或 ④．
解①得 8＜k＜，解②得k=8，解③得k∈∅，解④可得 k=7．
若p（x）在（1，4）上有2个零点，则有 ，解得 7＜k＜8．
综上可得，实数k的取值范围为[7，）．
（2）函数，即 ．
显然，k=0不满足条件，故k≠0．
当x≥0时，q（x）=k²x-k∈[-k，+∞）．
当x＜0时，q（x）=2x²-（k²+k+1）x+15∈（15，+∞）．
记A=[-k，+∞），记 B=（15，+∞）．
①当x₂＞0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，要使q（x₂）=q（x₁），则x₁＜0，且A?B，
故-k≥15，解得 k≤-15．
②当x₂＜0时，q（x）在（-∞，0）上是减函数，要使q（x₂）=q（x₁），则x₁＞0，且B?A，
故-k≤15，解得 k≥-15．
综上可得，k=-5满足条件．
分析：（1）由题意可得p（x）=2x²-（k+1）x+15-k 在（1，4）上有零点，分p（x）在（1，4）上有唯一零点和p（x）
在（1，4）上有2个零点，这两种情况，分别求出实数k的取值范围，再取并集，即得所求．
（2）根据q（x）的解析式可得k≠0，当x≥0时，求得q（x）的值域当x＜0时，求得q（x） 的值域，当x₂＞0时，
可得k≤-15；②当x₂＜0时，可得k≥-15，结合①②可得k的值．
点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的应用，体现了化归与转化、以及分类讨论的数学思想，
属于中档题．