Question

已知向量

m

=(sin2x，cosx)，

n

=(

3

，2cosx)(x∈R)，f(x)=

m

•

n

-1，
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，f(A)=2，a=

3

，B=

π

4

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积，二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间．
（2）通过f（A）=2，求出A的值，利用正弦定理直接求出b的值即可．

解答：

解 ：(1)f(x)= m • n -1= 3 sin2x+2cos2x-1  = 3 sin2x+cos2x  =2sin(2x+ π 6 )(2分)

由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

 (k∈Z)，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)（4分）
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]  k∈Z （6分）

(2) 在△ABC中

，∵f(A)=2sin(2A+

π

6

)=2，∴2A+

π

6

=

π

2

，∴A=

π

6

(9分)
由正弦定理得：b=

asinB

sinA

=

3 × 2 2

1 2

=

6

，∴b=

6

(14分)

点评：本题是中档题，考查三角函数在三角形中的应用，向量的数量积、三角函数公式以及函数的性质的应用，考查计算能力．