Question

15．已知定义在R上的函数f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$是奇函数
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若对任意的t∈（-∞，1]，不等式f（1+2^t）+f（k•4^t）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义将问题转化为恒成立问题，利用对应系数相等获得解答，
（2）先在定义域上取值，再作差、变形，变形彻底后根据式子的特点，讨论判断符号、下结论；
（3）对任意的t∈（-∞，1]，不等式f（1+2^t）+f（k•4^t）＜0恒成立，得-k•4^t＜（1+2^t），-k＜{$\frac{1}{{4}^{t}}$+$\frac{1}{{2}^{t}}$}_min，t∈（-∞，1]，即可获得解答．

解答 解：（1）∵定义在R上的函数f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$是奇函数，
∴f（-x）=$\frac{b-{2}^{-x}}{{2}^{-x}+a}$=-$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$，
∴b=1，a=1；
（2）f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在R上是单调减函数．
设0＜x₁＜x₂，则有f（x₁）-f（x₂）=-1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$+1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$
∵0＜x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$在区间（0，+∞）上是单调递减函数，
∵函数是奇函数，
∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$在R上是单调减函数．
（3）函数y=f（x）为奇函数且在R上为减函数
由对任意的t∈（-∞，1]，不等式f（1+2^t）+f（k•4^t）＜0恒成立，
得-k•4^t＜（1+2^t），
∴-k＜$\frac{1}{{4}^{t}}$+$\frac{1}{{2}^{t}}$对一切t∈（-∞，1]恒成立
∴-k＜{$\frac{1}{{4}^{t}}$+$\frac{1}{{2}^{t}}$}_min，t∈（-∞，1]，
∴-k＜$\frac{3}{4}$，
∴k＞-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查的是函数的奇偶性和单调性问题．在解答的过程当中充分体现了恒成立思想．函数单调性的证明方法：定义法，关键是变形一定彻底，直到能明显的判断出符号为止．