Question

设数列{a_n}的前项和为S_n，对任意的n∈N^*点（n，

Sn

n

）均在直线y=3x-2上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设是数列b_n=

3

anan+1

，T_n是其前n项和，求使T_n≤

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析：（1）根据对任意的n∈N^*点（n，

Sn

n

）均在直线y=3x-2上，可得S_n=3n²-2n，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，验证当n=1时，a₁=S₁，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知，b_n=

3

anan+1

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，求出和的最小值，即可求得满足要求的最小正整数m．

解答：解：（1）∵对任意的n∈N^*点（n，

Sn

n

）均在直线y=3x-2上．
∴

Sn

n

=3n-2，∴S_n=3n²-2n；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5  ①；
当n=1时，a₁=S₁=3×1²-2=1，适合①式，
所以a_n=6n-5；
（2）由（1）知，b_n=

3

anan+1

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，
∴T_n=

1

2

[（1-

1

7

）+（

1

7

-

1

13

）+…+（

1

6n-5

-

1

6n+1

）]=

1

2

(1-

1

6n+1

)
∴

1

2

(1-

1

6n+1

)≤

m

20

对所有n∈N^*都成立，只需

1

2

≤

m

20

∴m≥10
∴满足要求的最小正整数m为10．

点评：本题考查了数列与函数的综合应用，用拆项法求数列前n项和以及数列与不等式综合应用问题，属于中档题．