Question

17．已知非零向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，如果$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{d}$，求证：$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$．

Answer 1

分析 由向量平行的性质得$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=λ（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$，由此能证明$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$．

解答 证明：∵非零向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{d}$，
∴存在非零实数λ，使得$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{d}$，
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=λ（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$，整理，得$\overrightarrow{a}$=$\frac{1+λ}{1-λ}\overrightarrow{b}$，
∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$是非零向量，∴λ≠1，
∴$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$．

点评 本题考查向量平行的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行的性质的合理运用．