Question

2．已知函数f（x）=|$\frac{1-x}{x}$|，x∈（0，+∞）．
（1）作出函数f（x）的图象；
（2）写出函数f（x）的单调递减区间；
（3）已知0＜m＜n且f（m）=f（n），试探索$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）=|$\frac{1-x}{x}$|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-x}{x}，0＜x≤1}\\{\frac{x-1}{x}，x＞1}\end{array}\right.$，从而作出图象；
（2）由图象写出函数f（x）的单调递减区间即可；
（3）结合（2）知，f（m）=$\frac{1-m}{m}$=f（n）=$\frac{n-1}{n}$，从而解得．

解答 解：（1）f（x）=|$\frac{1-x}{x}$|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-x}{x}，0＜x≤1}\\{\frac{x-1}{x}，x＞1}\end{array}\right.$，
作函数f（x）的图象如下，

（2）函数f（x）的单调递减区间为（0，1）；
（3）结合（2）知，若0＜m＜n且f（m）=f（n），
则f（m）=$\frac{1-m}{m}$=f（n）=$\frac{n-1}{n}$，
即$\frac{1}{m}$-1=1-$\frac{1}{n}$，
故$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=2．
故$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值是定值2．

点评 本题考查了绝对值函数的应用与分段函数的应用，同时考查了数形结合的思想应用．