Question

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3bcosC=（5a-3c）cosB．
（1）求tanB的值；
（2）若a=c，且△ABC的面积为S=10，求边b．

Answer 1

分析 （1）由已知化简可得3sinA=5sinAcosB，即可求得sinB的值；
（2）由三角形面积公式可求a，由（1）得cosB=$\frac{3}{5}$，从而可由余弦定理解得b的值．

解答 解：（1）∵已知3bcosC=（5a-3c）cosB．
∴由正弦定理可得：3sinBcosC=（5sinA-3sinC）cosB，
即有3sinBcosC+3sinCcosB=5sinAcosB，
∴3sin（B+C）=3sinA=5sinAcosB，
∵A为△ABC的内角，有sinA≠0，两边同时除以sinA，可解得cosB=$\frac{3}{5}$，
∴sinB=$\frac{4}{5}$．tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{4}{3}$．
（2）∵由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，…①
又∵已知S=10，a=c，
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×{a}^{2}×\frac{4}{5}$=10．可解得a=5，
由（1）知cosB=$\frac{3}{5}$，
∴由①可得：b²=a²+a²-2a²×$\frac{3}{5}$，从而解得：b²=$\frac{4}{5}{a}^{2}$=20，解得b=2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用，考查了两角和的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．