Question

3．求y=$\left\{\begin{array}{l}3-{x}^{3}，x＜-2\\ 5-x，-2≤x≤2\\ 1-{（x-2）}^{2}，x＞2\end{array}\right.$的反函数及反函数的定义域．

Answer 1

分析 利用分段函数的性质，分别求出各段的反函数，由此能求出这个分段函数的反函数及反函数的定义域．

解答 解：当x＜-2时，y=3-x³，y＞11，
x³=3-y，解得x=$\sqrt{3-y}$，x，y互换得y=$\sqrt{3-x}$，x＞11；
当-2≤x≤2时，y=5-x，3≤y≤7，
解得x=5-y，x，y互换得y=5-x，3≤x≤7；
当x＞2时，y=1-（x-2）²，y＜1，
整理，得x²-4x+y-5=0，
x=$\frac{4+\sqrt{36-4y}}{2}$=2+$\sqrt{9-y}$，
x，y互换得y=$\sqrt{9-x}+2$，x＜1．
∴原函数的反函数及反函数的定义域为：
y=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3-x}，x＞11}\\{5-x，3≤x≤7}\\{\sqrt{9-x}+2，x＜1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的反函数及反函数的定义域的求法，是中档题，解题时要注意分段函数的性质的灵活运用．