Question

18．（1）已知log₈9=m，log₃5=n，求log₅12；
（2）已知1gM+1gN=21g（M-2N），求$lo{g}_{\sqrt{2}}\frac{M}{N}$的值．

Answer 1

分析 （1）由log₈9=m，可得$\frac{lo{g}_{3}{3}^{2}}{lo{g}_{3}{2}^{3}}$=m，log₃2=$\frac{2}{3m}$．又log₃5=n，可得log₅12=$\frac{1+2lo{g}_{3}2}{lo{g}_{3}5}$．
（2）由1gM+1gN=21g（M-2N），可得MN=（M-2N）²，且M＞2N．解得M=4N．即可得出．

解答 解：（1）∵log₈9=m，∴$\frac{lo{g}_{3}{3}^{2}}{lo{g}_{3}{2}^{3}}$=m，化为log₃2=$\frac{2}{3m}$．
又log₃5=n，
∴log₅12=$\frac{1+2lo{g}_{3}2}{lo{g}_{3}5}$=$\frac{1+2×\frac{2}{3m}}{n}$=$\frac{3m+4}{3mn}$；
（2）∵1gM+1gN=21g（M-2N），
∴MN=（M-2N）²，且M＞2N．
化为M²-5MN+4N²=0，
解得M=N或M=4N．
取M=4N．
$lo{g}_{\sqrt{2}}\frac{M}{N}$=$lo{g}_{\sqrt{2}}4$=$lo{g}_{\sqrt{2}}（\sqrt{2}）^{4}$=4．

点评 本题考查了对数的运算性质、对数换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．