Question

6．设f（x+$\frac{1}{x}$）=x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$，求f（e^x）．

Answer 1

分析 可通过立方和及完全平方公式，将原函数变成$f（x+\frac{1}{x}）=（x+\frac{1}{x}）[（x+\frac{1}{x}）^{2}-3]$，从而可以得出f（x）解析式，从而可得出f（e^x）．

解答 解：f（$x+\frac{1}{x}$）=${x}^{3}+\frac{1}{{x}^{3}}$=$（x+\frac{1}{x}）（{x}^{2}-1+\frac{1}{{x}^{2}}）$=$（x+\frac{1}{x}）[（x+\frac{1}{x}）^{2}-3]$；
∴f（x）=x（x²-3）；
∴f（e^x）=e^x（e^2x-3）=e^3x-3e^x．

点评 考查函数解析式的概念，以及已知f（g（x）），求f（x）时，可使f[g（x）]的解析式中出现g（x），从而将g（x）换成x便可得出f（x）的方法，也可换元求解．