Question

12．已知关于x的函数f（x）=x²+2mlog₂（x²+2）+m²-3，（m＞0）有唯一的零点，且正实数a、b满足a²+b²=m，且a³+b³+1=t（a+b+1）³，则t的最小值是（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{2}-4}}{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}-4}}{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}-4}}{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}-4}}{2}$

Answer 1

分析 由偶函数f（x）=${x^2}+2m{log_2}（{x^2}+2）+{m^2}-3，（m＞0）$有唯一的零点．可得：f（0）=0，进而求出m=1；进而令a=cosθ，b=sinθ，$0＜θ＜\frac{π}{2}$，根据三角函数的图象和性质及常数分离法和反比例函数的和性质，可得t的最小值．

解答 解：∵f（x）是偶函数，且f（x）=${x^2}+2m{log_2}（{x^2}+2）+{m^2}-3，（m＞0）$有唯一的零点．
∴f（0）=0，解得，m=1或-3，
又∵m＞0，
∴m=1，
∴a²+b²=1，
令a=cosθ，b=sinθ，$0＜θ＜\frac{π}{2}$，
则由a³+b³+1=t（a+b+1）³得：$t=\frac{{{{cos}^3}θ+{{sin}^3}θ+1}}{{{{（cosθ+sinθ+1）}^3}}}=\frac{{（cosθ+sinθ）（{{cos}^2}θ-cosθsinθ+{{sin}^2}θ）+1}}{{{{（cosθ+sinθ+1）}^3}}}$．
令 x=cosθ+sinθ，则 $x=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）∈（1，\sqrt{2}]$，且$cosθsinθ=\frac{{{x^2}-1}}{2}$．
于是$t=\frac{{x（1-\frac{{{x^2}-1}}{2}）+1}}{{{{（x+1）}^3}}}=\frac{{2+3x-{x^3}}}{{2{{（x+1）}^3}}}=\frac{{2+x-{x^2}}}{{2{{（x+1）}^2}}}=\frac{2-x}{2（x+1）}=\frac{3}{2（x+1）}-\frac{1}{2}$．
因为函数$f（x）=\frac{3}{2（x+1）}-\frac{1}{2}$在$（1，\sqrt{2}]$上单调递减，因此，t的最小值为$f（\sqrt{2}）=\frac{{3\sqrt{2}-4}}{2}$．
故选：A

点评 本题考查的知识点是函数零点的判定定理，偶函数的图象和性质，三角函数的图象和性质，常数分离法和反比例函数的和性质，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．