Question

【题目】已知函数.

（1）若在点处的切线与直线平行，讨论的单调性；

（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数在上单调递增.（2）

【解析】

（1）求出的导数，求出切线的斜率，由两直线平行可得的值，代入可得其单调性；

（2）由，可得当时，恒成立，设，对其求导可得

，令，则，对进行分析可得，，分，进行讨论，可得实数的取值范围.

解：（1）由已知得，则.

又因为直线的斜率为2，

所以，解得.

所以，定义域为.

所以，

所以函数在上单调递增.

（2）当时，恒成立，

即当时，恒成立.

令，则.

令，则.

当时，，，所以，

所以函数为增函数.

所以，所以.

①当时，，所以当时，，

所以函数为增函数，所以，

故对，恒成立；

②当时，，当时，，

，

当，知，即.

所以函数，为减函数.

所以当时，.

从而，这与题意不符.

综上，实数的取值范围为.