Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-ax．
（1）讨论函数f（x）在定义域内的最值（4分）；
（2）已知数列{a_n}满足a1=1，an+1=(1+

1

n2

)an+

1

2n

(n∈N+)．
①证明对一切n∈N⁺且n≥2，a_n≥2（4分）；
②证明对一切n∈N⁺，a_n＜e³（这里e是自然对数的底数）（6分）．

Answer 1

分析：（1）当a≤0时，f（x）在其定义域（-1，+∞）内是增函数，无最值．当a＞0时，f′(x)=

1-a-ax

1+x

=

-a(x- 1 a +1)

1+x

，由f′（x）=0，x=

1

a

-1∈(-1，+∞)，由此能够得到函数f（x）在定义域内的最值．
（2）①易用数学归纳法证明．②当a=1时，ln（1+x）＜x对x＞0恒成立，由an+1≤(1+

1

n2

)an+

an

2n

=(1+

1

n2

+

1

2n

)an，知lnan+1≤ln[(1+

1

n2

+

1

2n

)an]=lnan+ln(1+

1

n2

+

1

2n

)，所以lnan+1-lnan≤ln(1+

1

n2

+

1

2n

)＜

1

n2

+

1

2n

．由此能够推导出对一切n∈N⁺，a_n＜e³．

解答：解：（1）当a≤0时，f（x）在其定义域（-1，+∞）内是增函数，无最值；]
当a＞0时，f′(x)=

1-a-ax

1+x

=

-a(x- 1 a +1)

1+x

，由f′（x）=0，x=

1

a

-1∈(-1，+∞)，
且x∈(-1，

1

a

-1)时，f'（x）＞0，f（x）在(-1，

1

a

-1)内递增；x∈(

1

a

-1，+∞)时，f′（x）＜0，f（x）在x∈(

1

a

-1，+∞)内递减，
故f(x)=f(

1

a

-1)=-lna-1+a为f（x）在定义域内的最大值；f（x）在其定义域（-1，+∞）内无最小值
（2）①易用数学归纳法证明．
②当a=1时，由第（1）小题知ln（1+x）＜x对x＞0恒成立，
由①知 an+1≤(1+

1

n2

)an+

an

2n

=(1+

1

n2

+

1

2n

)an
所以  lnan+1≤ln[(1+

1

n2

+

1

2n

)an]=lnan+ln(1+

1

n2

+

1

2n

)
所以  lnan+1-lnan≤ln(1+

1

n2

+

1

2n

)＜

1

n2

+

1

2n

．
显然a₁，a₂＜e³；因为  lna₁=ln1=0，所以n≥3时，lna_n=（lna_n-lna_n-1）+（lna_n-1-lna_n-2）+…+（lna₂-lna₁）＜(

1

(n-1)2

+

1

2n-1

)+…+(

1

12

+

1

2

)≤[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-2)(n-1)

]+[

1

2

+

1

22

+…+

1

2n=1

]=3-

1

n-1

-

1

2n-1

＜3=lne3，
所以   a_n＜e³，综合知对一切n∈N⁺，a_n＜e³．

点评：本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细分析，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等介转化．