Question

16．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，AB=AD=$\frac{1}{2}$BC，$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$．
（1）求证：DE⊥平面PAC；
（2）若直线PE与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$，求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE⊥平面PAC．
（2）求出平面PAC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

解答 证明：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=AD=$\frac{1}{2}$BC=2，
则D（0，2，0），E（2，1，0），A（0，0，0），C（2，4，0），
$\overrightarrow{DE}$=（2，-1，0），$\overrightarrow{AC}$=（2，4，0），
$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AC}$=4-4+0=0，∴DE⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，∴DE⊥PA，
∵PA∩AC=A，∴DE⊥平面PAC．
解：（2）设P（0，0，t），（t＞0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，t），$\overrightarrow{AC}$=（2，4，0），$\overrightarrow{PE}$=（2，1，-t），
设平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2x+4y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-1，0），
∵直线PE与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5+{t}^{2}}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，解得t=1，或t=-1（舍），
∴P（0，0，1），$\overrightarrow{PC}$=（2，4，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-1），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=2a+4b-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=2b-c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（-1，1，2），
设二面角A-PC-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
二面角A-PC-D的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．