Question

【题目】如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其矩形附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形的一边AB在直径上，点C、D、G、H在圆周上，E、F在边CD上，且，设

（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为，求的表达式；

（2）当为何值时，能符合园林局的要求？

Answer 1

【答案】（1）；（2）当满足时，符合园林局要求.

【解析】试题分析：（1）由圆的性质可得， ， ，由 为等边三角形，

可得， ， ，所以 ，结合三角形面积公式可得结果 ；（2）由可得极值点满足， ，利用导数研究函数的单调性可得当时是单调减函数，当时， 是单调增函数，所以当时， 取得最小值.

试题解析：（1）由题意， ， ，且 为等边三角形，

所以， ， ，

， ．

（2）要符合园林局的要求，只要最小，

由（1）知，

令，即，解得或（舍去），

令 .

当时， 是单调减函数，当时， 是单调增函数，所以当时， 取得最小值.

答：当满足时，符合园林局要求.

思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及导数在解决实际问题中的应用，属于难题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：将游泳池及其附属设施的占地面积为关于 的函数，然后利用导数解答.