Question

对勾函数f（x）=ax+

b

x

，（a＞0，b＞0）是一种常见的基本初等函数，为了研究对勾函数f（x）=x+

4

x

的一些性质，例如单调性，奇偶性，最值等性质．首先通过列表法，列举了函数f（x）=x+

4

x

在（0，+∞）上部分自变量与函数值的对应值表，如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.002	4.04	4.3	5	4.8	7.57	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（Ⅰ）函数f（x）=x+

4

x

，（x＞0）在区间（0，2）上递减；函数f（x）=x+

4

x

，（x＞0）在区间

 

上递增．当x=

 

时，y_最小=

 

．
（Ⅱ）证明：函数f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间（0，2）递减．
（Ⅲ）思考：函数f（x）=x+

4

x

（x＜0）时，有最值吗？是最大值还是最小值？（注意：第（Ⅲ）问不必说明理由，直接写答案即可）

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据图表即可得到结论，
（Ⅱ）利用函数单调性的定义即可证明：函数f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间（0，2）递减．
（Ⅲ）根据基本不等式的性质即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）由图表中数据可知函数f（x）=x+

4

x

，（x＞0）在区间（4，+∞）上递增．当x=2时，y_最小=4．
（Ⅱ）证明：函数f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间（0，2）递减．
设0＜x₁＜x₂＜2，则f（x₁）-f（x₂）=x₁+

4

x1

-x₂-

4

x2

=（x₁-x₂）•

x1x2-4

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴0＜x₁x₂＜4，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•

x1x2-4

x1x2

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即函数f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间（0，2）递减．
（Ⅲ）∵f（x）=x+

4

x

，
∴f（-x）=-x-

4

x

=-（x+

4

x

）=-f（x），
即函数f（x）是奇函数，
根据函数奇偶性的性质可知，当x＜0时，函数有最大值，为f（-2）=-f（2）=-4．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，要求正确理解函数的性质．