Question

设向量

s

=（x+1，y），

t

=（y，x-1），（x，y∈R）满足|

s

|+|

t

|=2

2

，已知定点A（1，0），动点P（x，y）
（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过原点O作直线l交轨迹C于两点M，N，若，试求△MAN的面积．
（3）过原点O作直线l与直线x=2交于D点，过点A作OD的垂线与以OD为直径的圆交于点G，H（不妨设点G在直线OD上方），试判断线段OG的长度是否为定值？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由|

s

|+|

t

|=2

2

，知

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=2

2

，由此能求出动点P（x，y）的轨迹C的方程．
（2）点A（1，0）和B（-1，0）为C的两个焦点，连接BM，BN，由椭圆的对称性可知四边形AMBN是平行四边形，所以∠AMB=π-∠MAN=

π

3

，设MA=r₁，MB=r₂，由椭圆定义知r₁²+r₂²+2r₁r₂=8．在△AMB中，由余弦定理知r12+r2 2-2r1r2cos

π

3

=4，所以r1r2=

4

3

，由此得S△MAN=

1

2

r1r2sin

π

3

=

3

3

．
（3）设动点D（2，y₀），则以OD为直径的圆的方程为x（x-2）+y（y-y₀）=0，直线GA：2x+y₀y-2=0，由此得G的轨迹方程是x²+y²=2，从而得到OG=

2

（定值）．

解答：解：（1）∵

s

=（x+1，y），

t

=（y，x-1），（x，y∈R）满足|

s

|+|

t

|=2

2

，
∴

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=2

2

，
∴动点P（x，y）的轨迹C的方程是以（±1，0）为焦点，以长轴长为2

2

，短轴长为2的椭圆，
∴动点P（x，y）的轨迹C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）∵点A（1，0）和B（-1，0）为C的两个焦点，连接BM，BN，
由椭圆的对称性可知四边形AMBN是平行四边形，
∴∠AMB=π-∠MAN=

π

3

，
设MA=r₁，MB=r₂，
由椭圆定义知r1+r2=2

2

，即r₁²+r₂²+2r₁r₂=8，
在△AMB中，由余弦定理知r12+r2 2-2r1r2cos

π

3

=4，
两式作差，得r1r2=

4

3

，
∴S△MAN=

1

2

r1r2sin

π

3

=

3

3

．
（3）设动点D（2，y₀），
则以OD为直径的圆的方程为x（x-2）+y（y-y₀）=0，①
直线GA：2x+y₀y-2=0，②
由①②联立消去y₀得G的轨迹方程是x²+y²=2，
∴OG=

2

（定值）

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用圆锥曲线的性质进行等价转化．