Question

18．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：4x-3y+20=0，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• C． $\frac{5{x}^{2}}{9}$-$\frac{5{y}^{2}}{16}$=1
• D． $\frac{5{x}^{2}}{16}$-$\frac{5{y}^{2}}{9}$=1

Answer 1

分析 由已知推导出$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，双曲线的一个焦点为F（5，0），由此能求出双曲线的方程．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：4x-3y+20=0，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$．
∵双曲线的一个焦点在直线l：4x-3y+20=0上，
∴由y=0，得x=5，∴双曲线的一个焦点为F（5，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a}=\frac{4}{3}}\\{c=5}\\{{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=3，b=4，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
故选：A．

点评 本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．