【题目】对于函数f(x),若a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”.已知函数f(x)=是“可构造三角形函数”,则实数t的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
因对任意实数a、b、c,都存在以f(a)、f(b)、f(c)为三边长的三角形,则f(a)+f(b)>f(c)恒成立,将f(x)解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数的值域,然后讨论k转化为f(a)+f(b)的最小值与f(c)的最大值的不等式,进而求出实数k 的取值范围.
由题意可得f(a)+f(b)>f(c)对于a,b,c∈R都恒成立,
由于f(x)1,
①当t﹣1=0,f(x)=1,此时,f(a),f(b),f(c)都为1,构成一个等边三角形的三边长,
满足条件.
②当t﹣1>0,f(x)在R上是减函数,1<f(a)<1+t﹣1=t,
同理1<f(b)<t,1<f(c)<t,故f(a)+f(b)>2.
再由f(a)+f(b)>f(c)恒成立,可得 2≥t,结合大前提t﹣1>0,解得1<t≤2.
③当t﹣1<0,f(x)在R上是增函数,t<f(a)<1,
同理t<f(b)<1,t<f(c)<1,
由f(a)+f(b)>f(c),可得 2t≥1,解得1>t.
综上可得,t≤2,
故选:A.
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【题目】已知在区间上是增函数.
(1)求实数的值组成的集合;
(2)设关于的方程的两个非零实根为、.试问:是否存在实数,使得不等式对任意及 恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】《山东省高考改革试点方案》规定:从年高考开始,高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为八个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为.选考科目成绩计入考生总成绩时,将至等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到八个分数区间,得到考生的等级成绩.
某校级学生共人,以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩,为学生合理选科提供依据,其中物理成绩获得等级的学生原始成绩统计如下
成绩 | 93 | 91 | 90 | 88 | 87 | 86 | 85 | 84 | 83 | 82 |
人数 | 1 | 1 | 4 | 2 | 4 | 3 | 3 | 3 | 2 | 7 |
(1)求物理获得等级的学生等级成绩的平均分(四舍五入取整数);
(2)从物理原始成绩不小于分的学生中任取名同学,求名同学等级成绩不相等的概率.
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【题目】众所周知的“太极图”,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,整个图形是一个圆形,其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆.给出以下命题:①在太极图中随机取一点,此点取自黑色阴影部分的概率是;②当时,直线与黑色阴影部分有公共点;③当时,直线与黑色阴影部分有两个公共点.其中所有正确结论的序号是( )
A.①B.①②C.①③D.①②③
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【题目】某书店销售刚刚上市的某高二数学单元测试卷,按事先拟定的价格进行5天试销,每种单价试销1天,得到如下数据:
单价x/元 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
销量y/册 | 61 | 56 | 50 | 48 | 45 |
(1)求试销天的销量的方差和关于的回归直线方程;
附: .
(2)预计以后的销售中,销量与单价服从上题中的回归直线方程,已知每册单元测试卷的成本是10元,为了获得最大利润,该单元测试卷的单价应定为多少元?
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若对于任意的x∈[0,m],f(x)≥1恒成立,求m的最大值.
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【题目】在极坐标系中,曲线的方程为,以极点为原点,极轴所在直线为轴建立直角坐标,直线的参数方程为(为参数),与交于,两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)设点;若、、成等比数列,求的值
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【题目】对于集合,,,.集合中的元素个数记为.规定:若集合满足,则称集合具有性质.
(I)已知集合,,写出,的值;
(II)已知集合,为等比数列,,且公比为,证明:具有性质;
(III)已知均有性质,且,求的最小值.
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