【题目】对于集合,
,
,
.集合
中的元素个数记为
.规定:若集合
满足
,则称集合
具有性质
.
(I)已知集合,
,写出
,
的值;
(II)已知集合,
为等比数列,
,且公比为
,证明:
具有性质
;
(III)已知均有性质
,且
,求
的最小值.
【答案】(I); (II)见解析; (III)
.
【解析】
(Ⅰ)分别求得A+A,B+B,然后可得,
的值;
(Ⅱ)将原问题进行等价变形,然后利用反证法证明题中的结论即可;
(Ⅲ)原问题等价于任意两个元素之和均不相同,且任意两个不同元素之差的绝对值均不相同.据此整理计算即可确定的最小值.
(I)由题意可得:,
,
故
(II)要证具有性质
,只需证明,若
,则
.
假设上式结论不成立,即若,则
.
即,即
,
,
.
因为上式的右边为的倍数,而上式的左边为
的倍数,所以上式不成立.
故假设不成立,原命题成立.
(III)由题意,集合具有性质
,等价于任意两个元素之和均不相同.
如,对于任意的,有
,
等价于,即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同.
令,
所以具有性质
.
因为集合均有性质
,且
,
所以,当且仅当
时等号成立.
所以的最小值为
.
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【题目】对于函数f(x),若a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”.已知函数f(x)=是“可构造三角形函数”,则实数t的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=2BC=2,点M为DC的中点,将△ADM沿AM折起,使得平面△ADM⊥平面ABCM.
(1)求证:AD⊥BM;
(2)求点C到平面BDM的距离.
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【题目】2019年3月2日,昌平 “回天”地区开展了种不同类型的 “三月雷锋月,回天有我”社会服务活动. 其中有
种活动既在上午开展、又在下午开展,
种活动只在上午开展,
种活动只在下午开展 . 小王参加了两种不同的活动,且分别安排在上、下午,那么不同安排方案的种数是___________.
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【题目】某地区实施“光盘行动”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行动计划,进店的每一位客人需预交元,啤酒根据需要自己用量杯量取,结账时,根据每桌剩余酒量,按一定倍率收费(如下表),每桌剩余酒量不足
升的,按
升计算(如剩余
升,记为剩余
升).例如:结账时,某桌剩余酒量恰好为
升,则该桌的每位客人还应付
元.统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系,下面是随机采集的
组数据
(其中
表示饮酒人数,
(升)表示饮酒量):
,
,
,
,
.
剩余酒量(单位:升) |
| ||||
结账时的倍率 |
(1)求由这组数据得到的
关于
的回归直线方程;
(2)小王约了位朋友坐在一桌饮酒,小王及朋友用量杯共量取了
升啤酒,这时,酒吧服务生对小王说,根据他的经验,小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考虑再邀请
位或
位朋友一起来饮酒,会更划算.试向小王是否该接受服务生的建议?
参考数据:回归直线的方程是,其中
,
.
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【题目】小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学,在学习向量三点共线定理时,我们知道当P、A、B三点共线,O为直线外一点,且时,x+y=1(如图1)第二天,小郭提出了如下三个问题,请同学帮助小郭解答.
(1)当x+y>1或x+y<1时,O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系?写出你的结论,并说明理由
(2)如图2,射线OM∥AB,点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,求实数x的取值范围,并求当
时,实数y的取值范围.
(3)过O作AB的平行线,延长AO、BO,将平面分成如图3所示的六个区域,且,请分别写出点P在每个区域内运动(不含边界)时,实数x,y应满足的条件.(不必证明)
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【题目】如图,在多面体中,四边形
为矩形,
,
均为等边三角形,
,
.
(1)过作截面与线段
交于点
,使得
平面
,试确定点
的位置,并予以证明;
(2)在(1)的条件下,求直线与平面
所成角的正弦值.
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【题目】围建一个面积为40平方米的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙足够长),利用的旧墙需维修,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2米的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为5元/米,新墙的造价为20元/米,设利用的旧墙的长度为(单位:米),修建此矩形场地围墙的总费用为
(单位:元)
(1)将表示为
的函数;
(2)试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.
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