Question

【题目】已知函数．

（1）若，求的解析式；

（2）求的值域，设，为实数），求在时的最大值；

（3）对（2）中，若对的所有实数及恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；

（2），；

（3）或.

【解析】

（1）由且可求得定义域，可得的解析式；

（2），令，则，由此可转化为关于的二次函数，按照对称轴与的范围，的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；

（3）先由（2）求出函数的最小值，对恒成立，即要使恒成立，从而转化为关于的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．

（1）由且，得，

所以函数的定义域为.

又；

（2），

由，且，得.

令，

则，

，，

由题意知即为函数，的最大值．

注意到直线是抛物线的对称轴，

因为时，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，

①若，即，则；

②若，即，则；

③若，即，则，

综上有；

（3）由的解析式可得时，，；

时，；

可得，

由对恒成立，

即要使恒成立，

，令，

对所有的，成立，

只需，即有，

解得的取值范围是或．