Question

已知二次函数y=f(x)的定义域为R，f(1)=2，在x=t处取得最值，若y=g(x)为一次函数，
且f(x)+g(x)=x²+2x-3
（1） 求y=f(x)的解析式；
（2） 若x∈[-1，2]时，f(x)≥-1恒成立，求t的取值范围；

Answer 1

解：(1) 设f(x)=a(x-t)²+b， 又因为f(x)+g(x)=x²+2x-3 所以a=1，即f(x)=(x-t)²+b ，
又f(1)=2 代入得(1-t)²+b=2，得b= -t²+2t+1
所以f(x)=x²-2tx+2t+1；
(2)利用二次函数图象求函数f(x)在区间内的最小值，只需f(x)_min≥-1即可。
①当t≤-1时，f(x)_min≥-1不成立，
②当-1<t<2时，f(x)_min= -t²+2t+1-1得
③当t≥2时，f(x)_min=f(2)≥-1，得，∴
综上t的取值范围是。