Question

【题目】记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=，定义ST=0；若T={t1 ， t2 ， …，tk}，定义ST= + +…+ ．例如：T={1，3，66}时，ST=a1+a3+a66 ． 现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，ST=30．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1；
（3）设CU，DU，SC≥SD ， 求证：SC+SC∩D≥2SD ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当T={2，4}时，ST=a2+a4=a2+9a2=30，

因此a2=3，从而a1= =1，

故an=3n﹣1

（2）解：ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1= ＜3k=ak+1
（3）解：设A=C（C∩D），B=D（C∩D），则A∩B=，

分析可得SC=SA+SC∩D，SD=SB+SC∩D，则SC+SC∩D﹣2SD=SA﹣2SB，

因此原命题的等价于证明SC≥2SB，

由条件SC≥SD，可得SA≥SB，

①、若B=，则SB=0，故SA≥2SB，

②、若B≠，由SA≥SB可得A≠，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，

若m≥l+1，则其与SA＜ai+1≤am≤SB相矛盾，

因为A∩B=，所以l≠m，则l≥m+1，

SB≤a1+a2+…am=1+3+32+…+3m﹣1= ≤ = ，即SA≥2SB，

综上所述，SA≥2SB，

故SC+SC∩D≥2SD

【解析】（1）根据题意，由ST的定义，分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由ST的定义，分析可得ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1 ， 由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=C（C∩D），B=D（C∩D），则A∩B=，进而分析可以将原命题转化为证明SC≥2SB ， 分2种情况进行讨论：①、若B=，②、若B≠，可以证明得到SA≥2SB ， 即可得证明．