Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： =1（a＞b＞0）焦点的直线x+y﹣2 =0交M于P，Q两点，G为PQ的中点，且OG的斜率为9．
（1）求M的方程；
（2）A、B是M的左、右顶点，C、D是M上的两点，若AC⊥BD，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），G（x0，y0），则 ， ， ，

由此可得 ，因为x1+x2=2x0，y1+y2=2y0， ，所以 ，

又由题意知，M的一个焦点为 ，故a2﹣b2=8．因此a2=9，b2=1，

所以M的方程为 ．

（2）解：由题意可设直线AC的斜率为，所以直线AC的方程为y=k（x+1），

联立方程组 可得，（9+k2）x2+2k2x+k2﹣9=0，所以有 ，进而可得 ，所以 ，

同理可计算出 ，

所以四边形ABCD面积 ，

设 ，令 （t≥2），所以 ，此时 ，当且仅当 时取得等号，

所以四边形ABCD面积的最大值为 ．

【解析】（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），G（x0，y0），利用平方差法推出 ，通过M的一个焦点，求出a，b，即可求出M的方程．（2）由题意可设直线AC的斜率为，所以直线AC的方程为y=k（x+1），联立 利用韦达定理以及弦长公式，求解四边形ABCD面积的表达式，通过换元法以及基本不等式求解最值即可．