Question

18．已知数列{a_n}的前n项和S_n，a₁=1，a_n≠0，且S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$，设T_n为数列b_n的前n项和，且T_n＜|x+m|+|x-3m|对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1（n∈N^*）及a₁=1代入计算可知a₂=2，利用a_n+1=S_n+1-S_n变形、整理可知a_n+2-a_n=2，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知裂项b_n=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）-（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）]，并项相加可知T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$，从而问题转化为$\frac{1}{4}$≤|x+m|+|x-3m|对任意实数x恒成立，通过对m的取值范围进行讨论即得结论．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1（n∈N^*），a₁=1，
∴${a}_{2}=\frac{2{S}_{1}}{{a}_{1}}$=2，
∵a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1a_n+2-$\frac{1}{2}$a_na_n+1，a_n≠0，
∴a_n+2-a_n=2，
∴数列{a_n}中的奇数项、偶数项分别构成首项为1、2，公差均为2的等差数列，
∴a_2n-1=1+2（n-1）=2n-1，a_2n=2+2（n-1）=2n，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）-（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）]，
∴T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{n+1}$）-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）]=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$，
∴T_n＜|x+m|+|x-3m|对任意实数x恒成立等价于$\frac{1}{4}$≤|x+m|+|x-3m|对任意实数x恒成立，
下面对m的取值范围进行讨论：
①当m=0时，显然不成立；
②当m＞0时，-m＜0＜3m，则只需$\frac{1}{4}$≤x+m+3m-x，即m≥$\frac{1}{16}$；
③当m＜0时，3m＜0＜-m，则只需$\frac{1}{4}$≤-x-m+x-3m，即m≤-$\frac{1}{16}$；
综上所述，m的取值范围是：（-∞，-$\frac{1}{16}$]∪[$\frac{1}{16}$，+∞）．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．