Question

【题目】设对于任意实数x，不等式|x+7|+|x﹣1|≥m恒成立．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣12．

Answer 1

【答案】
（1）解：设f（x）=|x+7|+|x﹣1|，则有f（x）= ，

当x≤﹣7时，f（x）有最小值8；当﹣7≤x≤1时，f（x）有最小值8；

当x≥1时，f（x）有最小值8．综上f（x）有最小值8，所以，m≤8

（2）解：当m取最大值时m=8，原不等式等价于：|x﹣3|﹣2x≤4，

等价于： ，或 ，

等价于：x≥3或﹣ ≤x≤3，

所以原不等式的解集为{x|x≥﹣ }

【解析】（1）要使不等式|x+7|+|x﹣1|≥m恒成立，需f（x）=|x+7|+|x﹣1|的最小值大于或等于m，问题转化为求f（x）的最小值．（2）当m取最大值8时，原不等式等价于：|x﹣3|﹣2x≤4，去掉绝对值符号，解此不等式．
【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)．