Question

已知函数f(x)＝ax³＋x²＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f ′(x)是奇函数．

(1)求f(x)的表达式；

(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．

Answer 1

解：(1)由题意得f ′(x)＝3ax²＋2x＋b，

因此g(x)＝f(x)＋f ′(x)＝ax³＋(3a＋1)x²＋(b＋2)x＋b.

因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，

即对任意实数x，有a(－x)³＋(3a＋1)(－x)²＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax³＋(3a＋1)x²＋(b＋2)x＋b]，

从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，

因此f(x)的表达式为f(x)＝－x³＋x².

(2)由(1)知g(x)＝－x³＋2x，

所以g′(x)＝－x²＋2.

令g′(x)＝0，解得x₁＝－，x₂＝.

则当x<－或x>时，g′(x)<0，从而g(x)在区间(－∞，－]，[，＋∞)上是减函数；

当－<x<时，g′(x)>0，从而g(x)在区间[－，]上是增函数．

由上述讨论知，g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x＝1，，2时取得，

而g(1)＝，g()＝，g(2)＝，

因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.