Question

已知定义R⁺的函数f(x)满足:对任意的x、y∈R⁺,恒有f(xy)=f(x)+f(y).

(1)求证:f()=-f(x)(x∈R⁺);

(2)若x＞1时,恒有f(x)＜0,求证:f(x)必有反函数;

(3)设f(x)的反函数是f^-1(x),求证:f^-1(x)对于定义域内任意的x₁、x₂恒有f^-1 (x₁+x₂)=f^-1(x₁)·f^-1(x₂).

Answer 1

证明:(1)对任意的x、y∈R⁺,

f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,

令x=y=1,得f(1)=2f(1),可得f(1)=0.

而f(x)+f()=f(x·)=f(1),

即f(x)+f()=0.

由此可得f()=-f(x).

(2)任取x₁、x₂∈R⁺,且x₁＜x₂,则＞1.

∵x＞1时,f(x)＜0恒成立,可知f()＜0.

又f()=f(x₂·)=f(x₂)+f()=f(x₂)-f(x₁),

∴f(x₂)-f(x₁)＜0,即f(x₁)＞f(x₂).

由此可知f(x)是R⁺上的减函数,故f(x)必有反函数.

(3)设f^-1(x₁)=u₁,f^-1(x₂)=u₂,

则x₁=f(u₁),x₂=f(u₂).

∵f(u₁·u₂)=f(u₁)+f(u₂)=x₁+x₂,

∴f^-1(x₁+x₂)=f^-1［f(u₁·u₂)］

=u₁·u₂=f^-1(x₁)·f^-1(x₂).