Question

已知定义域为R的函数f(x)=

2x-b

2x+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）利用定义判断函数y=f（x）的单调性；
（3）若对任意t∈[0，1]，不等式f（2t²+kt）+f（k-t²）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数定义，利用f（0）=0且f（-1）=-f（1），列出关于a、b的方程组并解之得a=b=1；
（2）根据函数单调性的定义，任取实数x₁、x₂，通过作差因式分解可证出：当x₁＜x₂时，f（x₁）-f（x₂）＜0，即得函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
（3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式f（2t²+kt）+f（k-t²）＞0转化为：k＞-

t2

t+1

对任意的t∈[0，1]都成立，再设y=-

t2

t+1

求出导函数，化简后判断符号，判断出函数在[0，1]上的单调性求出函数的最大值，即得k的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=0，即

1-b

1+a

=0，可得b=1
又∵f（-1）=-f（1），即

2-1-1

2-1+a

=-

2 -1

2 +a

，解之得a=1，
经检验当a=1且b=1时，f(x)=

2x-1

2x+1

满足f（-x）=-f（x）是奇函数，
（2）由（1）得f(x)=

2x-1

2x+1

，任取实数x₁、x₂，且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，可得2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；  
（3）根据（1）（2）知，函数f（x）是奇函数且在（-∞，+∞）上为增函数．
∴不等式f（2t²+kt）+f（k-t²）＞0对任意t∈[0，1]恒成立，
即f（2t²+kt）＞-f（k-t²）=f（t²-k），
∴2t²+kt＞t²-k对任意t∈[0，1]都成立．
即t²+kt+k＞0，变量分离得k＞-

t2

t+1

对任意t∈[0，1]都成立，
设y=-

t2

t+1

，则y′=

(-t2)′(t+1)-(-t2)(t+1)′

(t+1)2

=

-2t(t+1)+t2

(t+1)2

=

-t2-2t

(t+1)2

＜0，
∴y=-

t2

t+1

在[0，1]上递减，则函数的最大值是0，
综上得，k＞0，
故实数k的取值范围是：k＞0．

点评：本题以含有指数式的分式函数为载体，研究了函数的单调性和奇偶性综合应用，以及恒成立问题，考查了转化思想和分离常数法，属于中档题．