Question

已知定义域为R的函数f(x)=

-2x+a

2x+1

是奇函数．
（Ⅰ）求a值；
（Ⅱ）判断并用定义法证明该函数在定义域R上的单调性；
（Ⅲ）设关于x的函数F（x）=f（4^x-b）+f（2^x+1）有零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由R上奇函数的性质可得f（0）=0，由此可求得a值；
（Ⅱ）设x₁＜x₂，利用作差可判断f（x₁）与f（x₂）的大小关系，结合函数单调性的定义可作出判断；
（III）化简可得F（x）=f（4^x-b）+f（2^x+1）=-2+

2

24x-b+1

+

2

22x+1+1

，则问题转化为方程-2+

2

24x-b+1

+

2

22x+1+1

=0有解，化简得b=4^x+2^x+1，则问题转化为方程b=4^x+2^x+1有解，通过换元转化为求函数的值域即可；

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，
即

-20+a

20+1

=0，
∴

-1+a

2

=0，
解得a=1，
（Ⅱ）f（x）在R上单调递减．证明如下：
由（Ⅰ）知f（x）=

-2x+1

2x+1

=-

2x-1

2x+1

=-

2x+1-2

2x+1

=-1+

2

2x+1

，
设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（-1+

2

2x1+1

）-（-1+

2

2x2+1

）=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2 x2-2 x1＞0，2 x1+1＞0，2 x2+1＞0，
∴

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数．
（III）F（x）=f（4^x-b）+f（2^x+1）=（-1+

2

24x-b+1

）+（-1+

2

22x+1+1

）
=-2+

2

24x-b+1

+

2

22x+1+1

，则问题转化为方程-2+

2

24x-b+1

+

2

22x+1+1

=0有解，
化简得1=24x-b+2x+1，
∴4^x+2^x+1-b=0，
∴b=4^x+2^x+1，则问题转化为方程b=4^x+2^x+1有解，
令t=2^x，t＞0，则4^x+2^x+1=t²+2t=（t+1）²-1＞0，
∴b＞0．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的综合运用，考查函数的零点，考查转化思想，考查学生分析问题解问题的能力．