Question

在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．二面角B-AP-C的大小________．

Answer 1

arcsin
分析：利用线面垂直的判定定理得BC⊥平面PAC，取AP中点E，可证∠BEC是二面角B-AP-C的平面角，利用 sin∠BEC= 求出结果．
解答：
∵AC=BC，PA=PAB，∴△APC≌△BPC，又 PC⊥AC，∴PC⊥BC．
又∠ACB=90°，即 AC⊥BC，且 AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC．
取AP中点E，连接BE，CE．∵BA=BP，∴BE⊥AP．∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP．∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE==，∴sin∠BEC==．
∴二面角B-AP-C的正弦值为 ．

点评：本题考查求二面角的平面角的大小的方法，找出二面角的平面角，将空间问题转化为平面问题是解题的关键．